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$a En un extenso trabajo titulado The algebra of topology, J. C. C. MaKinsey y A. Tarski [40] iniciaron la investigación de una clase de estructuras algebraicas que denominaron álgebras de clausura. Un álgebra de clausura es un álgebra (A;V, $, -,,0,1) tal que ( A;V, $, -,0,1) es un álgebra de Boole y ' ' es un operador de clausura, es decir, ' ' es una operación unaria que satisface los conocidos axiomas de Kuratowski: ' (0)=0, x-< (x), ( (x)) = (x), (xVy = (x) V (y). Las álgebras de clausura han sido extensamente estudiadas por numerosos autores. Particularmente, W. Blok realizó en [14] un estudio profundo de las subvariedades de la variedad de las álgebras de clausura. Una característica importante en la estructura de un álgebra de clausura es el conjunto de los elementos abiertos. Continuando con sus investigaciones sobre estas álgebras, McKinsey y Tarski probaron en [41] que el conjunto de los elementos abiertos de un álgebra de clausura es un álgebra de Heyting. Recíprocamente, un álgebra de Heyting puede sumergirse como el reticulado de los elementos abiertos de un álgebra de clausura. Otro hecho fundamental que relaciona las álgebras de Heyting (H) y las álgebras de clausura (C) es que el reticulado de congruencias de un álgebra en C es isomorfo al reticulado de congruencias del álgebra de Heyting de sus elementos abiertos. De aquí resultará que un álgebra es subdirectamente irreducible en C si y sólo si es subdirectamente irreducible en H. Este trabajo de tesis está dedicado, en gran medida, a profundizar la investigación sobre ciertas variedades de álgebras de clausura y a introducir y estudiar una extensión natural de este concepto, la variedad de las álgebras de clausura simétricas. La primera parte de esta tesis se refiere a ciertas subvariedades de C. Después de un capítulo introductorio en el que se hace una presentación general de la variedad C y donde se exponen los ejemplos y resultados básicos que se utilizarán más adelante, se estudia, en el capítulo 2, en profundidad, la variedad de las álgebras de clausura trivalentes Ct. Esta variedad es la subvariedad de las álgebras de clausura tal que sus elementos abiertos forman un álgebra de Heyting trivalente. Al investigar la estructura de las álgebras de una variedad dada, es de particular interés conocer cómo son los objetos libres finitamente generados. En [14], W. Blok dedica una gran parte de su trabajo a obtener resultados que lo aproximen a encontrar el álgebra de clausura con un generador, lo que es indicativo de la dificultad del problema. El principal resultado del capítulo 2 de esta tesis es la determinación de los objetos libres de la variedad Ct. Cabe destacar que este problema ya había sido estudiado por A. Monteiro en forma independiente de los trabajos de Blok y Dwinger ([14] y [13]). Para lograr la solución de este problema se realiza un estudio profundo de la variedad Ct: determinación de las álgebras simples y subdirectamente irreducibles, caracterización de las subálgebras maximales de las álgebras subdirectamente ireducibles y de las álgebras subdirectamente irreducibles finitamente generadas. Como una extensión natural, se estudia en el capítulo 3 la variedad de las álgebras de clausura lineales Cl. En la segunda parte de esta tesis se introduce la variedad de las álgebras de clausura simétricas SC. Esta variedad está formada por álgebras de clausura con una negación de De Morgan que transforma el reducto booleano en un álgebra de Boole simétrica e interactúa con el operador de interior mediante el axioma ' '. En consecuencia, el reticulado de los elementos abiertos de una álgebra en SC es un álgebra de Heyting simétrica (SH). Las álgebras de Heyting simétricas fueron estudiadas en numerosos trabajos por A. Monteiro [45], destacándose particularmente el trabajo Sur les algèbres de Heyting simétriques. También fueron estudiadas por L. Iturrioz [31] y posteriormente por H. P. Sankappanavar en su trabajo Heyting algebras with a dual lattice endomorphism [53]. En el capítulo 4 hacemos un estudio de la variedad SC de manera general. Como para el caso de las álgebras de clausura, construímos la extensión Booleana libre simétrica para obtener, a partir de un álgebra de Heyting simétrica A, un álgebra de clausura simétrica Ba tal que ' '. En el capítulo 5 estudiamos la variedad SM de las álgebras monádicas simétricas, determinando el reticulado de subvaridades y una ecuación para cada subvariedad, por último determinamos el álgebra libre sobre un conjunto ordenado. Aquí establecemos una equivalencia entre la variedad de álgebras monádicas con un automorfismo de período dos introducidas por M. Abad y L. Monteiro en [6] y SM. En el capítulo 6 estudiamos la variedad SCl de las álgebras de clausura lineales y la variedad ' ' de las álgebras de clausura simétricas lineales de orden n. En todas las variedades investigadas caracterizamos el reticulado de sus subvariedades y damos bases ecuacionales para cada subvariedad. Las técnicas utilizadas han sido aplicadas en otras variedades provenientes de la lógica, como álgebras de Lukasiewicz monádicas y álgebras de Heyting con distintos operadores (ver [4], [5]). CALIFICACION DEPARTAMENTO DE GRADUADOS Calificación de la defensa oral: Sobresaliente - 10 (diez) Fecha: 31/3/98 |
