Cuantización geométrica

Walter Alberto Reartes.

1996.

69 h. : ilustraciones ; 30 cm.

Director de tesis: Hernán Cendra.

"Tesis de Magíster en Matemática".

Tesis (magíster)--Universidad Nacional del Sur. Departamento de Matemática, 1996.

Resumen: Capítulo 1: Introducción: En esta tesis de magíster en matemática se desarrollan aspectos básicos de cuantización geométrica. Se trata de un tema muy amplio sobre el cual se han escrito recientemente varios libros, por ejemplo Woodhouse [37], Sniatyki [33], Puta [30] o Hurt [22]. Los estudios sobre cuantización geométrica fueron fuertemente motivados por los trabajos de Kostant [26] y Souriau [34], quienes pusieron las ideas básicas en términos de la geometría simpléctica y de la teoría de representación de grupos de Lie. Al mismo tiempo se tienen en mente los conceptos físicos que constituyen la mecánica cuántica. La motivación física está orientada a darle un encuadre matemático preciso a uno de los aspectos más interesantes de la mecánica cuántica, a saber, el llamado proceso de cuantización. Éste consiste en dar la versión cuántica de un sistema clásico asignando a los observables clásicos, representados por funciones C~ sobre el espacio de fases, operadores que actúan sobre un cierto espacio de Hilbert que se debe precisar. Este proceso está usualmente desarrollado en términos físicos utilizando coordenadas locales de posición qi y de momento pi. Uno de los objetivos de la cuantización geométrica es dar una versión intrínseca, es decir independiente de las coordenadas, que sirva para generalizarlo al caso de variedades simplécticas arbitrarias. El estilo de la exposición de este trabajo es consiso. La finalidad es mostrar todos los pasos en el proceso de cuantización geométrica para llegar a una comprensión global del tema pero lejos de pretender ser un tratado sobre el mismo. Tampoco se dan detalles en las demostraciones. Se presupone un conocimiento básico de mecánica clásica en el contexto geométrico, mecánica cuántica y variedades complejas. Se ha excluído el estudio de sistemas con ligaduras (ver por ejemplo Gotay [14], Gotay y Nester [15], [16], [17] o Grundling y Hurst [19]), el problema de reducción de sistemas con simetría (Abraham y Marsden [2]), o el problema de cuantizar sistemas con espacios de fases de dimensión infinita (teorías de campos, por ejemplo Axelrod y otros [4]). Si bien ciertos resultados en dimensión finita siguen siendo válidos en el caso infinito, en general la teoría no está suficientemente desarrollada y el tratamiento se hace caso por caso. Ésta es una línea muy interesante sobre la que se profundizará en estudios posteriores. Debe prevenirse al lector que en esta tesis no se da una definición concreta de cuantización. En la actualidad no parece haber un acuerdo sobre una tal definición que abarque todos los casos conocidos. Abraham y Marsden [2] dan la definición de una cuantización completa al sólo efecto de ilustrar que tal objeto no existe. Ésto era conocido desde el trabajo de Gröenewald [18]. Se considerará entonces un proceso de cuantización geométrica, sobre la base de un tratamiento de casos particulares cada uno de los cuales resuelve una familia de ejemplos de interés. El proceso de cuantización geométrica consta de dos etapas. La primera, llamada precuantización permite encontrar una representación de los observables en un espacio de Hilbert construído de modo bastante natural a partir de secciones de un fibrado complejo sobre la variedad simpléctica. Aquí se introduce la primera obstrucción topológica al proceso de cuantización. Esta condición que debe verificar la variedad, conduce a la 'discretización' típica de la mecánica cuántica. Sin embargo a pesar de la belleza de este procedimiento y de su capacidad de expresar varios fenómenos cuánticos importantes, debe remarcarse que el espacio de Hilbert y los operadores de la precuantización no coinciden con los usuales de la física. Por ejemplo no se verifica el principio de incertidumbre de Heisenberg. Sin embargo la precuantización parece ser un prerrequisito indudablemente útil en el proceso de la cuantización. La segunda etapa, que se denomina cuantización comienza eligiendo sobre el espacio clásico precuantizado una nueva estructura, a saber una polarización. Esto conduce a restringir el espacio de Hilbert para lograr el equivalente de lo que en la física se denomina una representación.// CALIFICACION DEPARTAMENTO DE GRADUADOS Calificación de la defensa oral: Sobresaliente 10 (diez) Fecha: 26/3/96

Incluye referencias bibliográficas.