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$a En la parte I- 1, se exhibe la demostración de F. Riesz[Ri] (1931) del teorema de Lebesgue [Le]sobre diferenciación de funciones nonótonas. Se prueba primero la diferenciabilidad de una función continua y monótona en un intervalo cerrado y acotado y luego el caso en que la función es solamente monótona. Se demuestra una condición necesaria y suficiente para que una curva sea rectificable y una extensión de la fórmula de la longitud de un arco. Se sigue básicamente el libro de F. Riesz y Sz. Nagy (RN), Functional analysis (1952). En parte II, que consta de los parágrafos 2 y 3 se sigue el trabajo original de H. Radernacher [Ra], Uber partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen meherer Variablen (1919). En 2 se demuestra la diferenciabilidad en casi todo punto de una función de dos variables. Se observa que resultados previos a la demostración del teorema principal son válidos en Rn pero en algunos casos las demostraciones se realizan en R2 por simplicidad de notación. Se completa el trabajo original incorporando las definiciones de función Lipschitz sobre compactos y de función localmente Lipschitz (Definiciones 2,8 y 2,9) y probando la equivalencia entre estas dos definiciones (Proposición 2,10). Agregando al dominio .. |
