BCK-álgebras duales

Sonia Savini.

2002.

145 págs. : ilustraciones ; 30 cm. .

Tesis--Universidad Nacional del Sur, 2003.

Resumen: En el año 1966, Y. Imai y K. Iseki, introducen la noción de BCK-álgebra, [129]. Son basicamente dos, las motivaciones que originan este concepto. Por un lado, surge como una formulación algebraica del sistema BCK del cálculo proposicional de C. A. Meredith, citado en [275]. La segunda está basada en la teoría de conjuntos. Si en ésta teoría consideramos las tres operaciones fundamentales, unión, intersección, diferencia y sus propiedades, entonces como una generalización tenemos la noción de álgebras de Boole. Si solo tomamos la unión y la intersección, como un álgebra general obtenemos los reticulados distributivos. Si consideramos la unión ó la intersección tenemos la noción de reticulado superior ó inferior, respectivamente. El concepto de BCK-álgebra proviene de seleccionar las mas esenciales y fundamentales propiedades de la diferencia de subconjuntos de un conjunto fijo. Estas álgebras no son definibles por igualdades y toda BCK-álgebra es, en particular, un conjunto ordenado con primer elemento. A la forma dual de las BCK-álgebras las denominaremos BCK-álgebras duales y éstas son, en particular, conjuntos ordenados con último elemento. Desde la llegada del Dr. Antonio Monteiro a la Universidad Nacional del Sur, él y sus discípulos, estudiaron y obtuvieron numerosos resultados sobre las álgebras de Boole, de Heyting, de Tarski, de Hilbert y de Curry. Todas éstas álgebras son casos particulares de BCK-álgebras duales. Muchos son los autores que han estudiado a las BCK-álgebras, y a partir de ellas se han definido nuevas clases de álgebras generalizando su concepto como, por ejemplo, K. Iseki en el año 1980 introduce las BCI-álgebras, [172], y Q. Hu se refiere a las BCH-álbebras en el año 1981. En éste trabajo, previa recopilación bibliográfica exhaustiva, se indican en forma sistemática y ordenada diversos resultados, indicándose las demostraciones de los mismos en forma detallada. Cabe mencionar, que en una gran mayoría, aparecen publicados en la revistas Mathematica Japonica y Mathematica Seminar Notes Kobe University entre los años 1977 y 1994. En el capítulo 1 se indican propiedades generales de las BCK-álgebras duales y en particular, algunos resultados sobre las conmutativas, concepto introducido por S. Tanaka en el año 1975. Dichas álgebras tienen una estructura de reticulado superior y han sido axiomatizadas por H. Yutani en 1977. También se considera la clase de las BCK-álgebras duales conmutativas acotadas, las que han sido extensivamente estudiadas por los autores T. Traczyk y A. Romanowska, ésta clase es equivalente a la clase de las MV-álgebras y sus elementos son reticulados distributivos. En el capítulo 2 se definen los sistemas deductivos y los sistemas deductivos implicativos en las BCK-álgebras duales, se demuestra que en las conmutativas las nociones de sistema deductivo primo e irreducible coinciden y se indican algunos resultados sobre sistemas deductivos en el producto directo y unión disjunta de una familia de BCK-álgebras duales. En el capítulo 3 se introducen nuevas clases de BCK-álgebras duales como las implicativas positivas y las de implicación, ambas, definibles por igualdades. Como una generalización de éstos conceptos, surge la definición de BCK-álgebra dual quasi-conmutativa, dado por H. Yutani, en el año 1977. También en este capítulo se estudian las BCK-álgebras duales con la condición (I), y para las implicativas positivas con la condición (I), que tienen una estructura de reticulado y reticulado inferior, respectivamente. En el capítulo 4 encontraremos algunos resultados sobre sistemas deductivos y sobre las relaciones de congruencias asociadas a ellos, a las que denominamos S-congruencias ó congruencias regulares. Se demuestra que el conjunto cociente de una BCK-álgebra dual por una realación de congruencia es una BCK-álgebra dual si y solo si la relación es regular. En el caso de las conmutativas, implicativas positivas y de implicación todas las congruencias son regulares, sin embargo esto no sucede en general. Daremos ejemplos de BCK-álgebras duales, una de ellas con la condición (I), en las cuales se pueden definir congruencias no regulares, de donde se concluye que la clase de todas las BCK-álgebras duales y la clase de las BCK-álgebras duales con la condición (I) no forman una variedad.CALIFICACION DEPARTAMENTO DE GRADUADOS Calificación de la defensa oral: Sobresaliente - 10 (diez) Fecha: 30/06/03

Incluye referencias bibliográficas.