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$a Pensada como una reseña cronológica de los avances en la teoría de los determinantes infinitos, en esta monografía se analizan aquellos resultados que pueden servir de apoyo ya sea en enfoques más generalizados (como son los trabajos de A. Grothendiek (34), o R. Sikorski (35)), ya para su aplicación al tratamiento de las ecuaciones diferenciales de tipo-Hill introducidas por W. Magnus (/33/,/38/). Así se la ha dividido en dos partes precedidas por una Introducción en la que se hace una reseña histórica del tema. La Parte I consta de 7 capítulos: En el capítulo 1, dedicado a los trabajos de H. Poincaré, a partir de la introducción de la noción de determinante convergente, se consideran las matrices infinitas cuyos elementos diagonales son iguales a 1 y se estudian las propiedades de sus determinantes, para finalizar el mismo con el análisis de la existencia de solución para la ecuación diferencial de Hill. (/2/,/4/,/5/). Se continúa, en el capítulo 2, con los resultados de H. von Koch sobre determinantes en forma normal. Analizando en principio las condiciones necesarias para la convergencia de los mismos y sus propiedades (linealidad respecto de filas y columnas, desarrollo según los elementos de una de sus filas o columnas), se llega a la convergencia incondicional de los determinantes en cuestión. Para concluir se define la convergencia absoluta definiendo ésta a partir de la introducción de la noción de permanente de una matriz infinita (/6/./7/./8/). En el capítulo 3, dedicado al tratamiento del determinante de Hill, se estudian las propiedades que permiten determinar los ceros del mismo a partir de las soluciones de una ecuación transcendente, fundamental ésta última en el tratamiento de las ecuaciones de tipo-Hill. (/23/,/33/,/36/,/38/). A los menores de co-orden r, introducidos en el capítulo 2, se refiere el capítulo 4. Entre los resultados que se exponen, siguiendo a H. von Koch, hay que destacar el teorema sobre existencia de un menor de co-orden suficientemente grande no-nulo, en caso de ser un determinante en forma normal igual a cero; este resultado será fundamental en el análisis de existencia de solución para los sistemas lineales infinitos. (/6/,/7/,/8/,/15/). Precisamente el capítulo 5 se refiere a este último tema analizándose la posibilidad de determinar las soluciones de un sistema infinito, cuyo determinante sea normal, aplicando la regla de Cramer. En este caso se estudian las soluciones para el sistema no-homogéneo y su relación con las del sistema homogéneo. (/7/,/8/,/9/,/14/,/15/). En el capítulo 6 se tratan los determinantes que son incondicionalmente convergentes y poseen propiedades comunes con los determinantes en forma normal, si previamente se aplica a sus filas una transformación conveniente. (/8/./9/). El tratamiento de la convergencia absoluta, introducida en el capítulo 2, es motivo del capítulo 7. // |
